•   第 08 卷 第 4 期 2008 年 4 月 中国水运 China Water Transport Vol.8 April No.4 2008 浅析灵敏度分析的几种数学方法 韩林山,李向阳,严大考 (华北水利水电学院,河南 郑州 450011) 摘 要:本文讨论了局部灵敏度分析和全局灵敏度分析这两种数学方法,对它们的优缺点和使用范围进行了比较, 为以后做灵敏度分析奠定了基础。 关键词:局部灵敏度;全局灵敏度;数学方法;灵敏度分析 中图分类号:F224.0 文献标识码:A 文章编号:1006-7973(2008)04-0177-02 随着现代工业的迅速发展,对工业设备的精度提出了更 高的要求。但是,由于制造误差、轴承间隙、弹性变形等因 素的影响,不可避免地会对设备的精度产生一定的影响。因 此我们就有必要建立起一个数学模型并且应用恰当的分析方 法来研究上述的各种误差对精度的影响关系,找出影响最大 的因素,作为我们在实际的制造和装配过程中进行误差分配, 降低生产成本,提高传动精度的理论依据。这里就可以采用 灵敏度分析的方法。它主要包括局部灵敏度分析方法和全局 灵敏度分析方法。 一、局部灵敏度分析方法 局部法主要分析因素对模型的局部影响(如某点)。局部 法可以得到参数对输出的梯度,这一数值是许多领域研究中 所需要的重要数据。局部法主要应用于数学表达式比较简单, 灵敏度微分方程较易推出,不确定因素较少的系统模型中。 主要包括直接求导法、有限差分法、格林函数法。 1.直接求导法 对于输入因素个数少、结构不复杂、灵敏度微分方程较 易推导的系统或模型,直接法是一种简单快速的灵敏度分析 方法。时变(非静止)系统可以用微分或微分-代数方程进行 描述。假设要考虑的初值问题是 f (y, x) = dy dt , y(0) = y0 (1) 同样,y 代表 n 维输出变量,x 代表 m 维输入因素。y0 代表初值数组。 式(1)对输入因素 x j 微分得到下述的灵敏度微分方程 d ?y = J ?y + ?f dt ?x j ?x j ?x j 或以矩阵形式表示为 i S = JS + F (2) (3) 式中, J = ?????yfil ? ? ? 是系统代数-微分方程右边对系统输出变量 的导数(可称为雅可比矩阵),F = ???????xfij ?? ? ?? 是对输入因素的导数, 也可称为参数雅可比。微分方程(2)的初始条件为零向量。 上述的直接法建立在微分方程(2)的基础上,要得到其 灵敏度矩阵 S 的解,需要先求得矩阵 J 和 F 的值。而矩阵的 值又是由系统变量的真实值确定,因此,需同时或预先求得 (1)方程的解。 对于非时变(静止)系统,将其代数方程 f (y, x) = 0 ,式 中,Y 是 n 维输出变量,X 是 m 维输入因素。令 ys 表示隐 性代数方程式的解。对输入因素 x j 求导数,得到下面的灵敏 度公式: Ss = ?J?1F (4) 式中,Ss 称为静态灵敏度矩阵,J 和 F 由静态点的变量值 计算。对于变量少、结构不复杂、灵敏度微分方程较易推出 的系统,直接法是一个简单快速的灵敏度分析方法。 2.有限差分法 局部灵敏度最简单的计算方法是有限差分法,其基本做 法是使设计变量有一个微小的摄动 ?x j ,用差分格式来计算 输出对设计变量的近似导数。其中比较简单的是采用向前差 分格式 ?y ≈ y(x j ) ? y(x) , ?x j ?x j j = 1, 2, , m (5) 式中 x j = (x1, x2 , , x j?1, x j + ?x j , x j+1, , xm ) ,截断误差 与 ?xj 同阶。有时采用更为精确的中心差分公式 ?y ≈ y(x j+ ) ? y(x j? ) , ?x j 2?x j j = 1, 2, , m 而 x j+ = (x1, x2 , , x j?1, x j + ?x j , x j+1, , xm ) , (6) x j? = (x1, x2 , , x j?1, x j ? ?x j , x j+1, , xm ) 中心差分法的截断误差与 ?xj2 同阶。虽然中心差分公式比 向前差分公式精度高,但在求解每一个导数时需要求一次函 数值,这意味着多做一次结构分析,增加了计算工作量。 3.格林函数法 微分方程(1)关于初始值 y0 的方程为 d dt X(t, t1) = J (t )X(t, t1 ) (7) 上式中,t1 ,t 分别表示摄动时间和观测时间,X 表示灵 敏度矩阵,即 收稿日期:2008-02-25 作者简介:韩林山 男(1964-) 李向阳 男(1984-) 华北水利水电学院 华北水利水电学院 教授 (450011) 硕士研究生 (450011) 178 中国水运 第 08 卷 X(t, t1 ) = ?? ? ?? ?ci ?c 0 j (t ) (t1 ) ?? ? ?? , X(t1, t1) = 1, t ≥ t1 (8) 格林函数法的基本思路是,要求得灵敏度矩阵,就要借 助式(2)或式(2)非齐次线性微分方程求得通解,而非齐 次微分方程的通解是由其对应的齐次方程的通解和非齐次方 程的特解两部分组成的,其中齐次方程的通解可由解式(6) 得到,而非齐次方程的特解由 ∫ S(t1,t2 ) = t2 t1 X(t2 , s)F(s)ds (9) 得到,上式中的 X 被称为格林函数,基于式(8)的解的 数值方法称为格林函数法。 直接求导法的计算量随着参数的增加成线性增加,而格 林函数的计算量与变量数成比例关系。 二、全局灵敏度分析方法 灵敏度分析方法有以下特点:⑴它研究的是各因素对模 型的全局影响(不仅是在某点处,而是在不同位置处);⑵因 素的范围可扩展到因素的整个定义域,各因素可同时变化, 能够对非线性、非叠加、非单调模型进行研究和分析。目前, 最常见的全局灵敏度分析方法是 Sobol’法。 Sobol’灵敏度分析方法是一种基于方差的蒙特卡罗法。 定义一个 k 维的单元体 ?k 作为输入因素的空间域,表示为 ?k = {x 0 ≤ xi ≤ 1;i = 1, 2, , k} (10) Sobol’方法的中心思想是将函数 f (x) 分解为子项之和 ∑ ∑ ( ) k f ( x1,x2, ,xk) = f0 + fi ( xi) + ( ) fij xi,xj + + f1,2, ,k x1,x2, ,xk (11) i=1 1≤ij≤k 上式右端共有 2k 个子项,且有多种分解方法。现在普遍 应用的是 1990 年 Sobol’提出的具有一般代表性的基于多 重积分的分解方法。该分解方法的特点如下: (1) f0 为常数项,各子项对其所包含的任一因素的积 分为 0 ∫ ( ) ( ) 1 f x ,x , 0 i1,i2, ,is i1 i2 ,xis dxij =0 1≤ j ≤s (2)各子项之间正交。即如果: (i1,i2, ,is ) ≠ ( j1, j2, , jl ) ,则 (12) ∫ f ? f dx = 0 ?k i1,i2 , ,is j1, j2 , , js (13) (3)式(11)中分解形式唯一,且各阶子项可由多重 积分求得。如: ∫ f0 = ?k f (x)dx (14) ∫ ∫ fi ( xi ) = ? f0 + 1 0 1 0 f ( x )dx ?i (1 ≤ i ≤ k ) (15) ( ) ( ) ∫ ∫ ( ) 1 fij xi, xj = ? f0 ? fi xi ? fj xj + 0 ( ) 1 f 0 x dx?(ij) (1≤ i j ≤ k) (16) 式(15)及(16)中, x?i 及 x?(ij) 分别表示除 xi 及除 xi 与 x j 之外的其它输入因素,类似地可求其余的高阶子项。 根据统计学的知识,模型输出 f (x) 的总方差为 ∫ D = ?k f 2 (x) dx ? f 2 0 (17) 现将式(11)中各阶子项的方差称为各阶偏方差,即 s 阶 偏方差 ∫ ∫ ( ) ( ) 1 D = i1,i2 , ,is 0 f x , x , 1 2 0 i1,i2 , ,is i1 i2 , xis dxi1dxi2 dxis 1≤ i1 is ≤ k(18) 把式(11)平方并在整个 ?k 内积分,结合式(13)可得 总方差与各阶偏方差的关系:总方差等于各阶偏方差之和。即 k ∑ ∑ D = Di + Dij + i =1 1≤i j≤k + D1,2, ,k (19) 将各阶灵敏度系数定义为各阶偏方差与总方差的比值。s S 阶灵敏度 i1,i2 , ,is 定义为 S = D D i1,i2 , ,is i1 ,i2 , ,is (1 ≤ i1 is ≤ k ) (20) 这里, si 称为因素 xi 的一阶灵敏度系数,表示 xi 对输 出的主要影响; Sij (i ≠ j ) 为二阶灵敏度系数,表示两因素之 间的交叉影响;依此类推, S1,2, ,k 为 k 阶灵敏度,表示 k 个 因素之间的交叉影响。 由式(19)可知: k ∑ ∑ Si + Sij + i =1 1≤i j≤k + S1,2, ,k = 1 (21) 在 Sobol’法中,各积分可由蒙特卡罗法求出。因此 f0 , D 及 Di 可通过蒙特卡罗估计得出 ∑ f?0 = 1 n n m=1 f (xm ), ∑ ( ) D? = 1 n f 2 n m=1 xm ? f?02, ∑ ( ) ( ) D?i = 1 n n m=1 f xi(m1) , x((1?)i)m f xi(m1) , x((?2i))m ? f?02 , (22) (23) (24) 三、数例分析 例如一个非单调模型由下式表示 Y = K 4 2 K 12 式 中 K1 、 K2 服 从 以 下 分 布 , K1 ~ U (0.9,1.1) , K2 ~ (0.9,1.1) 。用 Sobol’法方法分析各参数对Y 的灵敏度。 计算过程如下:首先可以由乘同余法产生均匀分布的 为随机数,根据这些伪随机数生成各参数在(0.9,1.1)均匀 分布的随机数。由 Latin 超立方采样获得随机序列后,代 入进行统计分析,最后可以得到参数 K1 和 K2 对 Y 的灵敏 度分别为 0.202 和 0.769。这表明 K2 的变化对 Y 的影响 较大。 四、结论 1.局部灵敏度和全局灵敏度分析方法是两种比较常用 的数学分析方法,在对结构进行灵敏度分析时起着重要作用。 2.当所研究模型是非线性的或者影响输入变量的不确 定性处于不同数量级时,局部法可能不能够提供有效的分析 结果,但局部法具有较高的计算效率,可用于模型快速的前 期研究中。 3.全局法不受模型限制,因素变动范围可扩展到因素 的整个定义域,它在灵敏度分析时可以提供比较全面的分析 结果,因而愈来愈广泛地在灵敏度分析方面得到运用。 (参考文献略)

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    2019-10-05 21:09
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